Aproximaciones: Aproximaciones

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Michoacán

CECYTEM 08 San Lucas

"Aproximaciones"

Alumnos:

- Mario Bravo Solache

- Federico Calvillo Reynoso

Profesor: Lic. Juan Manuel Urquiza Flores

Materia: Calculo Integral

Grupo: 526 A

Concepto General y Especifico

En su concepto general, "aproximación" es el proceso y la consecuencia de aproximar: avecinar, arrimar o acercar. El concepto suele emplearse para nombrar a la obtención de un resultado que, si bien no es exacto, resulta próximo a la exactitud.

En el terreno de las matemáticas, una aproximación es una representación que, si bien no es exacta, se considera útil gracias a su fidelidad a la realidad. El número pi, en este marco, suele representarse a través de una aproximación: 3,14. Sin embargo, este número irracional es infinito (3,1415926535…). La aproximación permite trabajar con una cifra sencilla de manejar que no está lejos del valor real.

Aproximación Lineal

Una función cualquiera en un punto X₀dado se puede aproximar linealmente y esta aproximación es válida en puntos muy cercanos al x deseado, siempre que la función se aproxime mediante su recta tangente en el punto.

Con esto podemos determinar que la ecuación de dicha recta tangente, la cual se aproxima a la función dada en X₀es:

y – y₀= f’(x₀) (x-x₀)

La aproximación lineal se hace válida para los valores de x que estén cercanos a X₀.

Para efectos del cálculo de la tangente se suele utilizar la fórmula:

dy = f’(x₀)dx

Donde:

Δx = (x – x₀) y Δy = y – y₀son equivalentes y se sustituyen con dx y dy respectivamente.

Ejemplo

Utilizar el concepto de diferencial para estimar el valor de $\sqrt{\ }$ 29.

Solucion

Sabemos que $\sqrt{\ }$ 25=5 . Por lo tanto se necesita una estimacion para el incremento de:

f(x)= $\sqrt{\ }$ x

desde 25 a 29 la diferencial en este caso es:

dy=f'(x)dx= 1 dx

2 $\sqrt{\ }$ x

con x=25 y dx=29-25=4, el valor de dy es:

dy= 1 (4) = 2=0.4

2 $\sqrt{\ }$ 25 5

Significa que una variacion de x, desde 25 hasta 29, aumenta el valor de la raiz cuadrada en aproximadamente 0.4 unidades. Por tanto:

$\sqrt{\ }$ 29= $\sqrt{\ }$ 25+0.4=5+0.4=5.4

Ahora bien, se puede comprobar que (5.4)2 =29.16 por lo que nuestra estimacion esta muy cercana al valor indicado en la raíz.

Estimar el valor de 3 $\sqrt{\ }$ 62 utilizando el concepto de diferencial.

Solucion

El valor de 3 $\sqrt{\ }$ 64=4. Por lo tanto, se necesita una estimacion para el cambio de:

f(x)=3 $\sqrt{\ }$ x

desde 64 a 62. La diferencial en este caso es:

dy=f'(x)dx= 1 dx= 1 dx

33 $\sqrt{\ }$ x2 3(3 $\sqrt{\ }$ x)2

Con x=64 y dx=62-64=-2, el valor de dy es:

dy= 1 (-2)= - 2 = - 1 =-0.042

3(3 $\sqrt{\ }$ 64)2 3(16) 24

Significa que con una variación de x, desde 64 hasta 62, el valor de la raíz cubica disminuye en aproximadamente 0.042 unidades. Por tanto:

3 $\sqrt{\ }$ 62=4-0.042=3.96

Ahora bien, se puede comprobar que (3.96)3=62.1 por lo que nuestra estimación esta muy cercana al valor indicado de la raíz.

Vídeo Explicativo

Para terminar les dejamos un vídeo en el cual se explica un poco mas el tema de "Aproximaciones". PD: El vídeo no es de nuestra autoria, créditos al autor.

Aproximaciones

domingo, 3 de septiembre de 2017